ریاضی سال دوم راهنمایی

ریاضی سال سوم راهنمایی / صفحه 145-148

.:: حجم ::.

حجم:(Volume)

حجم در لغت به معنی برآمدگی و ستبری و جسامت چیزی می باشد و در اصطلاح هندسه گنجایش و ظرفیت جسم و آن مقداری از فضا که جسم آن را اشغال می کند, را نشان می دهد.

منشور: (Prism)

منشور در لغت به معنی پراکنده, نشر شده, زنده شده و مبعوث است و در اصطلاح هندسه نام شکلی است که دو قاعده دارد که دو چند ضلعی مساوی هستند و بدنه منشور(سطح جانبی منشور ) از مستطیلها یا متوازی الاضلاع ها تشکیل شده است.

معرفی منشور 5 پهلو:

í نام شکل: منشور 5 پهلو

í یال های منشور: 'EE',DD',CC',BB',AA

í وجه منشور: هر کدام از مستطیل های جانبی را یک وجه منشور می نامند.

í ارتفاع منشور: از آنجا که هر کدام از یال ها بر دو قاعده منشور عمود می باشند, لذا ارتفاع منشور با اندازه هر یک از یال ها برابر است.

í قاعده ی منشور: منشور دو قاعده دارد. ABCDE و 'A'B'C'D'E که دو پنج ضلعی مساوی اند.

رابطه های مهم:

ارتفاع × مساحت قاعده = حجم منشور

ارتفاع × محیط قاعده = مساحت جانبی منشور

مساحت دو قاعده + مساحت جانبی = مساحت کل منشور

استوانه: (Cylinder)

نام شکلی است که دو قاعده دارد که دو دایره مساوی هستند و بر جانبی راست استوار است.

اگر مستطیل را حول طول آن دوران دهیم, شکل فضایی حاصل استوانه نامیده می شود. در این صورت طول مستطیل ارتفاع استوانه و عرض آن شعاع قاعده استوانه می باشد.

در شکل بالا مستطیل ABCD را حول طول آن دوران داده ایم و استوانه بوجود آمده است.

رابطه های مهم:

ارتفاع×مساحت قاعده(دایره) = حجم استوانه

ارتفاع×محیط قاعده(دایره) = مساحت جانبی استوانه

مساحت دو قاعده + مساحت جانبی = مساحت کل استوانه

هرم: (pyramid)

هرم در لغت به معنی سخت پیر گردیدن و کلان سال شدن است و در اصطلاح هندسه حجمی است که قاعده آن یک چند ضلعی و وجوه جانبی اش مثلثهایی باشند که همه به یک رأس مشترک(رأس هرم) منتهی می شوند.

معرفی هرم منتظم:

í نام شکل: هرم منتظم.

í رأس هرم: نقطه S

í ارتفاع هرم: پاره خطی است که از رأس هرم به مرکز قاعده ی هرم عمود است(SO)

í قاعده هرم: پنج ضلعی منتظم ABCDE

í سهم هرم: ارتفاع مثلث های جانبی, ارتفاع هر وجه جانبی هرم منتظم(SH).

í وجه هرم: هر یک از مثلث هایی که بدنه هرم را می پوشانند را یک وجه جانبی می نامیم.

í یال هرم: محل تقاطع هر دو وجه جانبی را یال هرم می نامیم. SE,SD,SC,SB,SA

رابطه های مهم:

مخروط : (cone)

مخروط به معنی خراشیده شده ، تراشیده شده و خراطی شده است ودر اصطلاح هندسه حجمی است که از دوران مثلث قائم الزاویه حول یک ضلع آن به دست می آید . کله قند و کلاه بوقی نمونه هایی به شکل مخروط هستند.

معرفی مخروط :

í نام شکل : مخروط

í رأس :نقطه ی s

í ارتفاع :پاره خط SO ضلعی که مثلث قائم الزاویه را حول آن دوران داده ایم تا مخروط بوجود آید.

پاره خطی است که از رأس مخروط بر صفحه ی قاعده ی آن عمود است .

í قاعده ی مخروط : دایره c به مرکز O و شعاع oB را قاعده ی مخروط می نامیم.

í مولد مخروط :پاره خط SA یا SB ، وتر مثلث قائم الزاویه که مخروط را بوجود آورده است.

رابطه های مهم :

کره : (sphere)

کره به معنی گوی و آن چه که به شکل گوی باشد، است و در اصطلاح هندسه شکلی است که از دوران نیم دایره حول قطرش بوجود می آید . مانند توپ ، گوی چوگان

معرفی کره:

í مرکز کره :نقطه ی O

í شعاع کره :R (فاصله ی نقاط روی سطح کره از مرکز کره)

í دایره ی عظیمه :اگر یک کره را نصف کنیم، دایره ای که از نصف کردن کره بدست می آید،

دایره عظیمه نام دارد .

رابطه های مهم :

1- اگر مثلث قائم الزاویه ای را حول وترش دوران دهیم ، دو مخروط پدید می آید که قاعده های آن ها بر هم منطبق اند.

مثال: مثلث قائم الزاویه ای به اضلاع 6 ، 8 ، 10 ، را حول وتر این مثلث دوران می دهیم . حجم جسم حاصل را حساب کنید .

حل:

بنابراین مساحت کره جدید 25 برابر می شود.

2- با توجه به دستور محاسبه ی مساحت کره (r^۲ ת 4) مشخص می شود که اگر شعاع کره ای را a برابر کنیم مساحت آن a^۳ برابر می شود.

مثال: اگر شعاع کره ای را 5 برابر کنیم ، مساحت آن چه تغییری می کند؟

حل:

3- با توجه به دستور محاسبه ی حجم کره مشخص می شود که اگر شعاع کره ای را a برابر کنیم، حجم آن a^۲ برابر می شود.

مثال: اگر شعاع کره ای را 3 برابر کنیم ، حجم آن چه تغییری می کند؟

حل:

یعنی حجم کره ی جدید 27 برابر حجم کره ی قدیمی می باشد.

4- اگر مکعبی را در یک کره محاط کنیم ، قطر مکعب با قطر کره مساوی است .

5- از دوران یک ذوزنقه ی قائم الزاویه حول ساق قائم ، مخروط ناقصی پدید می آید که حجم آن ازدستور زیر قابل محاسبه است:

þ تست1 :

مثلث ABC راحول وتر BC دوران می دهیم. حجم شکل حاصل برابر است با : (3=ת)

د)

ج)

ب)

الف)

þ تست2 :

اگر شعاع قاعده ی یک مخروط را دو برابر و ارتفاع آن را 3 برابر کنیم ، حجم مخروط چند برابر خواهد شد؟

د) 8 برابر

ج)12 برابر

ب) 6 برابر

الف) 4 برابر

þ تست3 :

اگر شعاع قاعده ی استوانه ای را 3 برابر و ارتفاع آن را ثلث کنیم ، حجم استوانه حاصل .......

د) 9 برابر می شود

ج)تغییر نمی کند

ب)3 برابر می شود

الف) ثلث می شود

þ تست4 :

در کره ای به شعاع یک مکعب محاط شده است . نسبت حجم این کره به مکعب چند است؟

د)

ج)

ب)

الف)

þ تست5 :

گسترده ی سطح جانبی یک مخروط دوار نیم دایره است.

زاویه ی مولد این مخروط با ارتفاع آن چند درجه است؟

د) ˚15

ج) ˚60

ب) ˚45

الف) ˚30

جواب تست ها

þ تست1:

مثلث ABC راحول وتر BC دوران می دهیم .حجم شکل حاصل برابر است با : (3=ת)

الف) ب)

ج) د)

حل:گزینه ی د صحیح است.

شکل از دو مخروط مساوی درست شده است.

کافی است یکی از مخروط ها را حساب کنیم و آن را دو برابر کنیم.

?=BH =? AH

بنابر رابطه ی فیثاغورس در مثلث می توان نوشت:

þ تست2:

اگر شعاع قاعده ی یک مخروط را دو برابر و ارتفاع آن را 3 برابر کنیم ، حجم مخروط چند برابر خواهد شد؟

د) 8 برابر

ج)12 برابر

ب) 6 برابر

الف) 4 برابر

حل:گزینه ی ج صحیح است.

یعنی حجم مخروط جدید 12 برابر مخروط قدیمی می باشد.

تذکر :راه حل سریع این تست به صورت زیر می باشد:

ابتدا دستور محاسبه را می نویسیم، سپس نسبت های تغییر یافته را به جای خود قرار می دهیم و سایر مقادیری را که تغییر نمی کنند حذف می کنیم، عدد بدست آمده نسبت وضعیت جدید به وضعیت قبلی را مشخص می کند.

þ تست3:

اگر شعاع قاعده ی استوانه ای را 3 برابر و ارتفاع آن را ثلث کنیم، حجم استوانه حاصل چند برابر خواهد شد؟

د) 9 برابر می شود

ج)تغییر نمی کند

ب)3 برابر می شود

الف) ثلث می شود

حل:گزینه ی ب صحیح است .