ریاضی سال سوم راهنمایی / صفحه 77-84

 

.:: رابطه ی فیثاغورس ::.

(Pythagorean relation)

 

 

در هر مثلث قائم الزاویه مربع وتر برابر است با مجموع مربعات دو ضلع دیگر.

 

 

 

 

 

 

وتر مثلث قائم الزاویه: در هر مثلث قائم الزاویه، ضلع روبرو به زاویه ی قائمه وتر نام دارد . 

 

 BC وتر مثلث قائم الزاویه ی    است.

 

اعداد فیثاغورسی:

اگر در مثلثی مربع بزرگترین ضلع با مجموع مربعات دو ضلع دیگر برابر باشد ،آن مثلث قائم الزاویه است. آن دسته از اعداد طبیعی که مربع یکی برابر مجموع مربعات دو تای دیگر باشد، را اعداد فیثاغورسی می نامند. این اعداد    می توانند اندازه های اضلاع یک مثلث قائم الزاویه باشند.

مانند: (5 و 4 و 3) ، (13 و 12 و 5) ، (17 و 15 و 8) و ..............

 

رابطه ی فیثاغورس:

 

 

 

1-

í در مثلث قائم الزاویه, ضلع مقابل به زاویه 30 درجه, نصف وتر و ضلع مقابل به زوایه 60درجه, برابر اندازه وتر می باشد.

2-

í در مثلث قائم الزاویه ضلع مقابل به زاویه 45 درجه برابر اندازه وتر می باشد.

3- با توجه به شکل های مقابل, تساوی زیر را می توان نوشت:

4-

 

5-

6-

í در مثلث قائم الزاویه, میانه وارد بر وتر نصف وتر است.

7-

í حاصلضرب دو ضلع زاویه قائمه برابر است با حاصلضرب وتر در ارتفاع وارد بر وتر.

8-

í اگر یک زاویه از مثلث قائمه الزاویه ای ˚15 یا ˚75 باشد, ارتفاع وارد بر وتر ربع وتر است.

9-

قطر مکعب مستطیلی به ابعاد a و b و c برابر است با

10-

 

 

مثال ها

در هر یک از شکلهای زیر مقادیر مجهول را بیابید.

 

تصویر 1:

حل:

تصویر 2:

حل:

تصویر 3:

حل:

تصویر 4:

حل:

تصویر 5:

حل:

تصویر 6:

حل:

 تصویر 7:

حل:

 

اکنون در مثلث قائم الزاویه داریم:

تصویر 8:

حل:

ضلع مقابل به زاویه ˚45 در مثلث قائم الزاویه برابر وتر می باشد.

ضلع مقابل به زاویه ˚30 در مثلث قائم الزاویه, برابر نصف وتر است. بنابر این AC دو برابر AH می باشد.

2=1×2=AC    

ضلع مقابل به زاویه ˚60 در مثلث قائم الزاویه, برابر وتر می باشد، بنابراین HC برابر است با :

 

 

تصویر 9:

AB=x           

حل:

 

تصویر10:

حل:

 

 

 

 þ تست1 :

مساحت نیم دایره ها S۳,S۲,S۱ نامیده شده است. با توجه به رابطه فیثاغورس در مثلث قائم الزاویه, چه رابطه ای بین مساحت نیم دایره ها برقرار است؟

ب)

الف)

د)

ج)

 

 

 

 

 

 þ تست2 :  

محیط یک لوزی که رأس های آن وسط های طول و عرض مستطیلی به طول 12 و عرض 9 باشد, برابر است با:

د) 24

ج) 26

ب) 28

الف) 30

 

 

þ تست3 :  

در یک مثلث قائم الزاویه اندازه ی وتر C و ضلع a دو عدد صحیح متوالی هستند. مربع ضلع دیگر برابر است با:

د) c+a

ج) c-a

ب)

الف) c.a

 

 

þ تست4 :  

در شکل مقابل مثلث ABC قائم الزاویه متساوی الساقین است مساحت مربع چند برابر مساحت مثلث است؟

ب) 4

الف) 3

د)

ج) 2

 

 

 

 

þ تست5 :  

راننده ای با اتومبیل خود از شهر A حرکت کرد. پس از طی 80 کیلومتر به طرف شرق 50 کیلومتر نیز به طرف شمال و 40 کیلومتر به طرف شرق طی کرد تا به شهر B رسید. فاصله دو شهر A و B به صورت مستقیم چند کیلومتر است؟

د) 135

ج) 130

ب) 125

الف) 120

 

 

þ تست6 :  

یک نردبان به طول 25 متر بر دیوار عمودی ساختمانی تکیه دارد. فاصله ی پایه ی نردبان از پی دیوار 7 متر است. اگر بالای نردبان 4 متر سر بخورد, آنگاه مقداری که پایه ی نردبان سر می خورد, برابر است با:

د) 8

ج) 5

ب) 15

الف) 9

 

 

þ تست7 :  

در ربع دایره ی مقابل با توجه به اندازه های داده شده, اندازه CD چقدر است؟

 

د) 3

ج)

ب)

الف)

 

 

 

 

 

þ تست8 :  

در شکل مقابل شش ضلعی منتظم است اگر محیط دایره برابر p۴ باشد، مقدار AC کدام است؟ 

د) 14/3

ج)

ب)

الف) 4

 

 

þ تست9 :  

مساحت ذوزنقه مقابل برابر است با :   

د) 36

ج) 27  

ب) 24

الف) 18

 

 

þ تست10 :  

در شکل مقابل مجموع مساحت های دو ناحیه ی رنگی برابر است با:   

 

 

د) 54 

ج) 30 

ب) 24

الف) 50

 

 

 

جواب تست ها

 

þ تست1:  

مساحت نیم دایره ها S۳,S۲,S۱ نامیده شده است. با توجه به رابطه فیثاغورس در مثلث قائم الزاویه, چه رابطه ای بین مساحت نیم دایره ها برقرار است؟

 

ب)

الف)

د)

ج)

 

 

 حل: گزینه ب صحیح است.

 

þ تست2:  

محیط یک لوزی که رأس های آن وسط های طول و عرض مستطیلی به طول 12 و عرض 9 باشد, برابر است با:

د) 24

ج) 26

ب) 28

الف) 30

 حل: گزینه الف درست است.

30 = 4 × 7/5 = محیط لوزی 

þ تست3:  

در یک مثلث قائم الزاویه اندازه ی وتر C و ضلع a دو عدد صحیح متوالی هستند. مربع ضلع دیگر برابر است با:

د) c+a

ج) c-a

ب)

الف) c.a

حل: گزینه ی دال صحیح است.

 

þ تست4:  

در شکل مقابل مثلث ABC قائم الزاویه متساوی الساقین است مساحت مربع چند برابر مساحت مثلث است؟

 

 

 

 

 

 

ب) 4

الف) 3

 (د

ج) 2

 

حل:گزینه ب صحیح است

 

þ تست5:  

راننده ای با اتومبیل خود از شهر A حرکت کرد. پس از طی 80 کیلومتر به طرف شرق 50 کیلومتر نیز به طرف شمال و 40 کیلومتر به طرف شرق طی کرد تا به شهر B رسید. فاصله دو شهر A و B به صورت مستقیم چند کیلومتر است؟

د) 135

ج) 130

ب) 125

الف) 120

حل: گزینه ج درست است.

 

 

þ تست6:  

یک نردبان به طول 25 متر بر دیوار عمودی ساختمانی تکیه دارد. فاصله ی پایه ی نردبان از پی دیوار 7 متر است. اگر بالای نردبان 4 متر سر بخورد, آنگاه مقداری که پایه ی نردبان سر می خورد, برابر است با:

د) 8

ج) 5

ب) 15

الف) 9

حل: گزینه د صحیح است.

 

 

 

 

با توجه به مثلث قائم الزاویه ی AOB می توان گفت:

 

وقتی نردبان 4 متر سر می خورد. 20ا = CO

با توجه به مثلث قائم الزاویه COD می توان رابطه فیساغورس را به صورت زیر نوشت:

 

þ تست7:  

در ربع دایره ی مقابل با توجه به اندازه های داده شده, اندازه CD چقدر است؟

ب)

الف)

د) 3

ج)

حل: گزینه الف صحیح است.

در مثلث قائم الزاویه ضلع مقابل زاویه 30 درجه, نصف وتر است . BC=1 => OB=2

 

 

 

þ تست8:  

در شکل مقابل شش ضلعی متنظم است اگر محیط دایره برابرת 4 باشد ، مقدار AC کدام است؟ 

 

د) 14/3

ج)

ب)

الف) 4

 حل: گزینه ج صحیح است.

 

 

 

 

 

 

þ تست9:  

مساحت ذوزنقه مقابل برابر است با :   

 

 

د) 36

ج) 27  

ب) 24

الف) 18

حل: گزینه ب صحیح است.

در مثلث قائم الزاویه ضلع مقابل به زاویه ی ˚45 ، برابروتر می باشد، بنابراین :

 

þ تست10:  

در شکل مقابل مجموع مساحت های دو ناحیه ی رنگی برابر است با:   

 

 

 

 

 

د) 54 

ج) 30 

ب) 24

الف) 50

حل: گزینه د صحیح است.

مجموع مساحت های دو ناحیه ی رنگی با مساحت مثلث برابر است.

 

 

آدرس لينك صفحه : www.olympiadelmi.ir/riazi/3/09/riazi-3-9.htm

اجرا و پشتيباني توسط مؤسسه فناوري اطلاعات كاشف